limit trigonometri

Limit Trigonometri

Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

Berikut ini adalah beberapa turunan dasar trigonometri yang wajib diketahui sebelum anda memecahkan persoalan turunan trigonometri:

f(x) = sin x → f ‘(x) = cos x
f(x) = cos x → f ‘(x) = −sin x
f(x) = tan x → f ‘(x) = sec2 x
f(x) = cot x → f ‘(x) = −csc2x
f(x) = sec x → f ‘(x) = sec x . tan x
f(x) = csc x → f ‘(x) = −csc x . cot x.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri I

Misalkan u merupakan fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, dimana u’ adalah turunan u terhadap x, maka :

f(x) = sin u → f ‘(x) = cos u . u’
f(x) = cos u → f ‘(x) = −sin u . u’
f(x) = tan u → f ‘(x) = sec2u . u’
f(x) = cot u → f ‘(x) = −csc2 u . u’
f(x) = sec u → f ‘(x) = sec u tan u . u’
f(x) = csc u → f ‘(x) = −csc u cot u . u’.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri II

Berikut ini adalah turunan dari fungsi-fungsi rumus sin cos tan trigonometri dalam variabel sudut ax +b, dimana a dan b adalah bilangan real dengan a≠0 :

f(x) = sin (ax + b) → f ‘(x) = a cos (ax + b)
f(x) = cos (ax + b) → f ‘(x) = -a sin (ax + b)
f(x) = tan (ax + b) → f ‘(x) = a sec2 (ax +b)
f(x) = cot (ax + b) → f ‘(x) = -a csc2 (ax+b)
f(x) = sec (ax + b) → f ‘(x) = a tan (ax + b) . sec (ax + b)
f(x) = csc (ax + b) → f ‘(x) = -a cot (ax + b) . csc (ax + b).

Nah, agar kita lebih mudah menghafal sifat trigonometri diatas, mari kita kerjakan beberapa contoh soal sin cos tan dan turunan trigonometri berikut ini.

Contoh Soal Turunan Trigonometri

1.) Turunan pertama dari f(x) = 7 cos (5 – 3x) adalah f ‘ (x) = …..

35 sin (5 – 3x)
– 15 sin (5 – 3x)
21 sin (5 – 3x)
– 21 sin (5 – 3x)
– 35 sin (5 – 3x).

Jawab :

* ingat $f(x) = {\color{Red} a.cos\:(bx+c)}\;\;\;\;maka \;\;\;\;f'(x)= {\color{Red} -ab.sin\:(bx+c)}$

* maka:

$\begin{align*}f(x) & = & 7 cos (5 - 3x)\\f'(x) & = & -7.(-3).sin(5-3x)\\ & = & 21\;sin(5-3x) \end{align*}$

2.) Jika f ‘(x) adalah turunan dari f(x) dan jika f(x) = ( 3x – 2 ) sin (2x + 1) maka f ‘ (x) adalah …

3 cos ( 2x + 1 )
6 cos ( 2x + 1 )
3 sin ( 2 x + 1 ) + (6 x – 4) cos (2 x + 1)
(6x – 4) sin ( 2x + 1 ) + 3 cos ( 2x + 1 )
E. 3 sin ( 2x + 1) + ( 3x – 2 ) cos( 2x + 1 ).

Jawab :

* $f (x) = {\color{Red} (3x-2)}\;{\color{DarkGreen} sin( 2x + 1 )}$ kita misalkan terlebih dulu

$\begin{array}{lcl}{\color{Red} u}={\color{Red} 3x-2} & maka & u'=3 \\v={\color{DarkGreen} sin(2x+1)} & maka & v'=2\;cos(2x+1) \end{array}$

* ingat rumus turunan perkalian dua fungsi :

$\begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 3.{\color{DarkGreen} sin(2x+1)}+2cos(2x+1).({\color{Red} 3x-2})\\ & = & 3\;sin(2x+1)+(6x-4)\;cos(2x+1) \end{array}$

3.) Turunan pertama fungsi f (x) = 5 sin x cos x adalah f ‘ (x) = …

5 sin 2x
5 cos 2x
5 sin²x cos x
5 sin x cos²x
5 sin 2x cos x

Jawab :

* $f (x) = {\color{Red} 5\;sin\;x}\;{\color{DarkGreen} cos\;x}$ kita misalkan terlebih dulu

$\begin{array}{lcl}{\color{Red} u}={\color{Red} 5sin\;x} & maka & u'=5cos\;x\\v={\color{DarkGreen} cos\;x} & maka & v'=-sin\;x \end{array}$

* ingat rumus turunan

$\begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 5cos\;x.{\color{DarkGreen} cos\;x}+(-sin\;x).({\color{Red} 5sin\;x})\\ & = & 5\;cos^2x-5\;sin^2x\\ & = & 5(cos^2x-sin^2x)\\ & = & 5.cos\;2x \end{array}$